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第一章：函数、极限、连续

2分钟前 Office 2 推广

At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ( $N$ is odd) equidistant points around $x^<em>$ : [ f_k = f(x_k),\: x_k = x^+kh,\: k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}
]
where $h$ is some step.
Then we interpolate points ${(x_k,f_k)}$ by polynomial
(1) $\begin{equation} P_{N-1}(x)=\sum_{j=0}^{N-1}{a_jx^j}\end{equation}$

Its coefficients ${a_j}$ are found as a solution of system of linear equations:
(2) $\begin{equation} \left{ P_{N-1}(x_k) = f_k\right},\quad k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}\end{equation}$

Here are references to existing equations: (1), (2).
Here is reference to non-existing equation (??).

一、随堂练习

定义域计算
- 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f(x + \frac{1}{2}) + f(x - \frac{1}{2})$ 的定义域为多少？
- 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0, 10]$ ，求 $f(\ln x)$ 的定义域。
- 已知函数 $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域是（）A. $(0, +\infty)$ B. $[0, +\infty)$ C. $(-\infty, 0)$ D. $(-\infty, 0]$
反函数计算
- 计算下列函数的反函数：(1) $y = \sqrt{x}$ (2) $y = \arccos\frac{x + 1}{3}$
复合函数分解
- 分解下列复合函数：(1) $y = e^{\cos^2 x}$ (2) $y = \sin \ln^2(x + 3)$
函数的奇偶性
- 函数 $f(x) = (e^x - e^{-x})\sin x$ 是（）A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法判断
- 判断下列函数的奇偶性：(1) $y = \sin x \cdot \cos(2x)$ (2) $y = \sin x \cdot e^{\cos x}$

二、【练好题】基础篇

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1, 0)$ ，则下列函数定义域是 $(0, 1)$ 的函数为（）A. $f(-x^2)$ B. $f(-2x)$ C. $f(x+1)$ D. $f(x-1)$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1, 1]$ ，则函数 $F(x) = f(x) + f(x+1)$ 的定义域是（）A. $[-1, 0]$ B. $(-1, 0)$ C. $[-1, 1]$ D. $[0, 1]$
函数 $f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x}}$ 的定义域为 ______。
函数 $f(x) = \frac{2}{x} + \ln(3+x)$ 的定义域为 ______。
函数 $f(x) = \frac{2}{2-x} + \lg(2x+1)$ 的定义域为 ______。
计算下列函数的反函数：(1) $y = \frac{2}{x-1}$ (2) $y = 2\arcsin 3x$
判断下列函数的奇偶性：(1) $y = \frac{x \cos x}{x^2+1}$ (2) $y = \sqrt{2-x^2}$ (3) $y = x(\cos x + 1)$ (4) $y = x(\tan x + x^2)$

三、【练好题】进阶篇

已知函数 $f(x-1)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $F(x) = f(\sin x) + f(2x+1)$ 定义域为（）A. $[-1, 1]$ B. $(-1, 0)$ C. $[-1, 2]$ D. $[-1, 0]$
函数 $f(x) = \frac{2}{x} + \sqrt{2-x^2}$ 的定义域为 ______。
函数 $f(x) = \arcsin(3-4x)$ 的定义域为 ______。
函数 $f(x) = \frac{x-1}{1+x} + \ln|x|$ 的定义域为 ______。
已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，则函数 $f(x-1)$ 的定义域为 ______。
计算下列函数的反函数：(1) $y = \ln(x+1)$ (2) $y = \frac{e^x-1}{e^x+1}$ (3) $y = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$
判断下列函数的奇偶性：(1) $y = \frac{2^x-1}{2^x+1}$ (2) $y = \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}$ (3) $y = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (4) $y = |\tan x|$ (5) $y = \frac{\sin^2 x}{x \cos x}$

第二节极限

一、随堂练习

1. 代值法与四则运算

计算极限 $\lim_{x \to 0} (e^x - 1)$
计算极限 $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3})$
计算极限 $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2-9}$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x})$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x(x+1)}{x+4}$

2. 因式分解法

$1. \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$
$2. \lim_{x \to 2} \frac{x^2+x-6}{x^2-4}$
$3. \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ （注：根据上下文推测为立方根）

3. 无穷因子消去法（抓大头）

设 $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+5}{3x-2} = 2$ ，则 $a=$ ___， $b=$ ___。
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{n^2(n+1)+n(n^2-1)}{n^3+3n+5}$
计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(2n+1)}{n^2+n+4}$ （注：题目原文可能有误，按标准题型整理）
计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$
计算极限 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2-2n+1} - 2n)$

4. 无穷小量与无穷大量

计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \arcsin x$
计算极限 $\lim_{x \to 3} \frac{2}{x-3}$ （注：可能涉及无穷大判断）
计算极限 $\lim_{x \to \infty} (2^x + \sin x)$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \cdot 3^x}{3^x + 1}$
计算极限 $\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}$

5. 极限存在准则与两个重要极限

函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{2x}, & x<0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$ ，求 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 是多少？
已知函数 $f(x) = \begin{cases} 2x^2+a, & x>0 \\ 2\cos x - 1, & x \le 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处极限存在，则 $a=$ ___。
已知极限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{kx})^x = e^{-1}$ ，则 $k=$ ___。
$\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+3}{x^2+2x-5})^x =$ ___。

6. 无穷小量的比较与替换

当 $x \to 0$ 时， $x^2+x$ 与 $\sin x$ 相比是（）A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶非等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，函数 $f(x) = \sin ax$ 与 $g(x) = \ln(1-2x)$ 是等价无穷小，则常数 $a$ 的值为（）A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
已知极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x}-1}{ax} = 3$ ，则常数 $a=$ ___。（注：根据题意补充了分母形式）
求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \arcsin x$ （注：原文可能为 $\frac{x^2}{\arcsin x}$ 或类似，直接计算为0）
下列极限存在的是（）A. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x-1}$ B. $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ C. $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x^2}$ D. $\lim_{x \to 0} 2^{\frac{1}{x}}$
已知当 $x \to 0$ 时， $\sqrt{1+ax^2}-1$ 与 $\frac{1}{3}\sin^2 x$ 是等价无穷小，则 $a=$ ___。
计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$
计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{2x}$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{2x}{x^2+1}$

二、【练好题】基础篇

$\lim_{x \to 0} x \arccos \frac{1}{x} =$ ___。
当 $x \to 0$ 时， $\tan x$ 与 $x$ 相比是（）A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶非等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，与 $x$ 等价的无穷小量是（）A. $\frac{\sin x}{\sqrt{x}}$ B. $\ln(1+x)$ C. $2(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})$ D. $x^2(1+x)$
已知极限 $\lim_{x \to 0} (\frac{2-x}{2+x})^{k/x} = e$ ，则常数 $k$ 的值为（）A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{2x})^x =$ ___。
$\lim_{x \to \infty} x^2 \sin \frac{1}{x} =$ ___。
$\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} =$ ___。
已知 $\lim_{x \to 3} \frac{ax+b}{x-3} = 2$ ，则 $a=$ ___， $b=$ ___。
当 $x \to \infty$ 时， $f(x)$ 与 $\frac{1}{x}$ 是等价无穷小量，则 $\lim_{x \to \infty} 2xf(x) =$ ___。
已知函数 $f(x) = \begin{cases} \sin^2 x, & x > \frac{\pi}{2} \\ 2\cos x - a, & x \le \frac{\pi}{2} \end{cases}$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处极限存在，则 $a=$ ___。
计算下列极限：(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x(x-1)^2-5x^2+1}{4x^2+x}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$ (4) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$ (5) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3-1}{x^2-5x+3}$ (6) $\lim_{x \to +\infty} \cos(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ (7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x-1)}{e^x-1}$ (8) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x^2-4)}{x-2}$ (9) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \sin(\frac{x}{\sqrt{5}})^2$ (10) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$ (11) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x \sin x}$ (12) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2-7x+12}{\sin(x-4)}$ (13) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$ （注：原文模糊，推测为sin/sin结构）(14) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x \tan x}-1}{x^2 \cos x}$ (15) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x \ln(1-x^3)}{x-\sin x}$ (16) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{e^{x^3}-1}$
已知函数 $f(x) = \text{arccot} \frac{1}{x}$ ，计算 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ 与 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ ，并求 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 。

三、【练好题】进阶篇

当 $x \to 0$ 时， $f(x) = e^{x+3}$ 的极限为（）A. -2 B. 1 C. 2 D. $e^3$
计算极限 $\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-1}{x^2+1})^{x^2} =$ ___。
计算极限 $\lim_{x \to 0} (x+e^x)^{\frac{1}{x}} =$ ___。
当 $x \to 0$ 时，函数 $(1+ax^2)^{\frac{1}{3}}-1$ 与函数 $\frac{1}{2}x^2$ （注：原文模糊，推测为某等价无穷小）等价，则 $a=$ ___。
已知极限 $\lim_{x \to +\infty} (\frac{x+2a}{x-a})^x = 8$ ，则 $a=$ ___。
已知函数 $f(x) = 2^{1-\frac{1}{x-1}}$ ，计算 $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 与 $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ，并求 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 。
计算极限：(1) $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n})$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3(-2)^n}{3^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n+3^n}{3^{n+1}+2^{n+1}}$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(2n-3)^{20}(3n+2)^{30}}{(6n+1)^{50}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3})$ (6) $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3})$ (7) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-7x+12}{x^2-9}$ (8) $\lim_{x \to \infty} \frac{x(2+\cos x)}{x^2+1}$ (9) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} \cdot \cos \frac{x^2}{x+1}$ (10) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^2(\arcsin 4x)}{\sin^2 2x}$ (11) $\lim_{x \to 1} \frac{\tan(x^2-1)}{\sqrt{x}-1}$ (12) $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x-1)x^2}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+x}}$ (13) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}$ (14) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$

第三节连续

一、随堂练习

设函数 $f(x) = \begin{cases} 2\sin x, & x \ge 0 \\ e^{2x} + a, & x < 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a$ 的值为 ___。
设函数 $f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ x \sin \frac{1}{x}, & x > 0 \end{cases}$ ，判断其在 $x=0$ 处是否连续。
$x=0$ 是函数 $f(x) = \frac{\cos x}{x}$ 的（）A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点
点 $x=0$ 是函数 $f(x) = \frac{e^{x^2}-1}{x}$ 的（）A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点
点 $x=0$ 是函数 $f(x) = \frac{1}{1-e^{1/x}}$ 的（）A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点

二、【练好题】基础篇

点 $x=1$ 在函数 $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ 中是（）A. 有定义 B. 极限不存在 C. 连续 D. 极限存在
函数 $f(x) = \frac{x^2-1}{x(x-1)}$ 的间断点个数为（）A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
点 $x=1$ 在函数 $f(x) = \frac{|x|}{x(x-1)}$ 中是（）A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 跳跃间断点
$x=0$ 在函数 $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$ 中是（）A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 连续点 D. 振荡间断点
对于函数 $y = \frac{x^2-4}{x(x-2)}$ ，以下结论正确的是（）A. $x=0$ 是第一类间断点， $x=2$ 是第二类间断点B. $x=0$ 是第二类间断点， $x=2$ 是第一类间断点C. $x=0$ 是第一类间断点， $x=2$ 是第一类间断点D. $x=0$ 是第二类间断点， $x=2$ 是第二类间断点
设 $f(x) = \begin{cases} \frac{e^x-1}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（）A. 无穷间断点 B. 振荡间断点 C. 跳跃间断点 D. 连续点

三、【练好题】进阶篇

点 $x=0$ 为函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x(x-1)}$ 的（）A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 跳跃间断点
函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x-1)(x-2)}$ 的间断点个数为（）A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
$f(x) = \frac{1}{e^{1/x}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（）A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 第二类间断点 D. 跳跃间断点
已知函数 $f(x) = \begin{cases} |x|+1, & x < -1 \\ 2x^2+a, & x \ge -1 \end{cases}$ 在 $x=-1$ 处连续，则常数 $a=$ ___。
已知 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x < 1 \\ a, & x = 1 \\ \frac{\ln(2-x)}{x-1}, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处连续，则常数 $a=$ ___。

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