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内容说明
输电线路设计计算公式汇总
均布荷载下架空线的计算
在高压架空线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力、和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线线长微小的变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。设计弧垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减少，同时杆塔荷载增大因而要求强度提高。设计弧垂过大，满足对地距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。因此设计合适的弧垂是十分重要的。
架空线悬链方程的积分普遍形式
- 假设一：架空线是没有刚度的柔性索链，只承受拉力而不承受弯矩。
- 假设二：作用在架空线上的荷载沿其线长均布；悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。
[图注：图 4-1 架空线悬挂曲线受力图]
(a) 分离体受力图；(b) 整档架空线受力图
由力的平衡原理可得到一下结论：
- 1、架空线上任意一点 C 处的轴向应力 \(\sigma_x\) 的水平分量等于弧垂最低点处的轴向应力 \(\sigma_0\)，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等。
\(\sigma_x \cos\theta = \sigma_0\)
- 2、架空线上任意一点轴向应力的垂直分量等于该点到弧垂最低点间线长 \(L_{oc}\) 与比载 \(\gamma\) 之积。
\(\sigma_x \sin\theta = \gamma L_{oc}\)
推导出：
\(tg\theta = \frac{\gamma}{\sigma_0} L_o\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{\gamma}{\sigma_0} L_{oc}\) 即 \(y' = \frac{\gamma}{\sigma_0} L_{oc}\) (4-3)
由（4-3）推导出 \(\frac{dy}{dx} = sh\frac{\gamma}{\sigma_0}(x + C_1)\) (4-4)
等高悬点架空线的线长
- *L*oc 弧垂最低点 O 与任意一点 C 之间的架空线的线长。
- 参考图 4-1 由式 4-3、4-4，解得：(考虑到 C₁=0)
Loc = (σ₀/γ)·sh(γ/σ₀) 或记为 Lₓ = (σ₀/γ)·sh(γ/σ₀)
- 将 x=L/2 代入上式得：
L = 2L₍ₓ₌ₗ/₂₎ = (2σ₀/γ)·sh(γ/2σ₀) （4-10）
- 上式表明，在档距一定时，架空线的长度是关于架空线比载和应力的函数。应该指出上式计算的结果是俺家空闲的悬链曲线几何形状计算长度，与架空线的制造长度不尽相同。
等高悬点架空线的应力
- 等高悬挂点处：
σ_A = σ_B = σ₀·ch(γl/2σ₀)
- 用弧垂表示：
σ_A = σ_B = σ₀ + γf
- 必须指出，悬挂点处的应力除式中计算的应力外，还有还有线夹的横向挤压力，考虑刚度时的附加弯曲应力和振动时产生的附加动应力等。
不等高悬点架空线的弧垂、线长及应力
不等高悬点架空线的悬链线方程
- 地形的起伏不平或杆塔高度的不同，将造成导线悬挂点高度的不相等，其高度差称为高差，与水平面的夹角称为高差角。
- 【图】图 4-3 不等高悬点架空线的悬链线
- 公式推到过程省略了，最后公式：
y = −(2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·sh(γ(l−x)/2σ₀) （4-17）
f_m = (σ₀/γ)·[ (h/l)·(arcsh(h/l) − arcsh(h/L₍ₕ₌₀₎)) + √(1+(h/L₍ₕ₌₀₎)²)·ch(γl/2σ₀) − √(1+(h/l)²) ]
- 这里的公式和第二版设计手册上的公式明显不同，最明显是这里是一个与高差角无关的函数。
不等高悬点架空线的弧垂
结论
- 当比值 \(\gamma/\sigma_0\) 一定时，架空线上任一点处的斜率与该点至弧垂最低点之间的线长成正比。最后推到得到架空线悬链方程的普遍积分形式。\(C_1\)、\(C_2\) 为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。
- \[
y=\frac{\sigma_0}{\gamma}\operatorname{ch}\left[\frac{\gamma}{\sigma_0}(x+C_1)\right]+C_2 \tag{4-5}
\]
等高悬点架空线的弧垂、线长和应力
等高悬点架空线的悬链方程
- 等高悬点是指架空线的两个挂点高度相同。由于对称性，等高悬点架空线的弧垂最低点位于档距中央，将坐标原点取在该点，如图：
- 图 4-2 等高悬点架空线的悬链线
y=\frac{\sigma_0}{\gamma}\left(\operatorname{ch}\frac{\gamma}{\sigma_0}x-1\right) \tag{4-6}
- 由上式可以看出，架空线的悬链线具体形状完全由比值 \(\sigma_0/\gamma\) 决定，即无论何种架空线、何种气象条件。只要 \(\sigma_0/\gamma\) 相同，架空线的悬挂曲线形状就相同。在比载 \(\gamma\) 一定的情况下，架空线的水平应力是决定悬链线形状的唯一因素，所以平时架空线的水平张力对架空线的空间形状有着决定性的影响。
等高悬点架空线的弧垂
- 架空线上任意一点的弧垂是指该点距两悬点连线的垂直距离。在设计中需要计算架空线任意一点 \(x\) 处的弧垂 \(f_x\)，以验算架空线对地的安全距离。参照图4-2
f=y_B=\frac{\sigma_0}{\gamma}\left(\operatorname{ch}\frac{\gamma l}{2\sigma_0}-1\right)=\frac{2\sigma_0}{\gamma}\operatorname{sh}^2\frac{\gamma l}{4\sigma_0}
y_B=\frac{\sigma_0}{\gamma}\left(\operatorname{ch}\frac{\gamma l}{2\sigma_0}-1\right)
- 可得到式：
f_x=\frac{2\sigma_0}{\gamma}\operatorname{sh}\frac{\gamma x_i}{2\sigma_0}\operatorname{sh}\frac{\gamma(l-x_i)}{2\sigma_0} \tag{4-8}
- 在档距中央，弧垂有最大值，此时 \(x=0\) 或 \(x_i=L/2\)，所以有
f=y_B=\frac{\sigma_0}{\gamma}\left(\operatorname{ch}\frac{\gamma l}{2\sigma_0}-1\right)=\frac{2\sigma_0}{\gamma}\operatorname{sh}^2\frac{\gamma l}{4\sigma_0} \tag{4-9}
- 架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。最大弧垂在线路的设计、施工中占有重要的位置。
不等高悬点架空线的弧垂（根据定义推导）
- 根据弧垂的定义，不等高悬点架空线任意一点的弧垂为：
f_x = (h/l)x − y = (h/l)x − (2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·sh(γ(x−2a)/2σ₀)
= (h/l)x − (h/L_{h=0})·[(2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·ch(γ(l−x)/2σ₀)] + √(1+(h/L_{h=0})²)·[(2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·sh(γ(l−x)/2σ₀)] （4-18）
- 等高悬点 h=0 时，有
f_{x(h=0)} = (2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·sh(γ(l−x)/2σ₀) （与 4-8 一致）
三种常用弧垂公式
- 架空输电线路最常用的档距中央弧垂、最低点弧垂和最大弧垂（斜切点弧垂）。在档距中央 x=L/2，代入 4-18 得到化简后的档距中央弧垂的计算公式：
f_{L/2} = √(1+(h/L_{h=0})²)·(σ₀/γ)·(ch(γl/2σ₀) − 1) （4-19）
- 最低点弧垂出现在 x=a 处，代入公式得：
f₀ = (σ₀/γ)·[√(1+(h/L_{h=0})²)·ch(γl/2σ₀) − (h/l)·arcsh(h/L_{h=0}) − 1] （4-20）
f₀ = f_{L/2} − (σ₀/γ)·[1 + (h/l)·arcsh(h/L_{h=0}) − √(1+(h/L_{h=0})²)]
最大弧垂
- 弧垂最大出现在 df_x/dx = 0 处，得
x_m = a + (σ₀/γ)·arcsh(h/l) = l/2 + (σ₀/γ)·(arcsh(h/l) − arcsh(h/L_{h=0})) （4-21）
- 从上式可以看处，不等高悬挂点架空线的最大弧垂不在档距中央。将 4-21 代入 4-18 得到：
f_m = (σ₀/γ)·[(h/l)·(arcsh(h/l) − arcsh(h/L_{h=0})) + √(1+(h/L_{h=0})²)·ch(γl/2σ₀) − √(1+(h/l)²)] （4-22）
f_m = f_{L/2} + (σ₀/γ)·[(h/l)·(arcsh(h/l) − arcsh(h/L_{h=0})) + √(1+(h/L_{h=0})²) − √(1+(h/l)²)]
不等高悬点架空线的线长
- 不等高悬点架空线线长可通过弧长微分公式求得。根据式 4-4 有
dy/dx = sh(γ/σ₀)·(x₁ + C₁) = sh(γ/σ₀)·(x − a) （4-23）
- 架空线任意一点至左悬点的线长为
L_x = (2σ₀/γ)·sh(γx/2σ₀)·ch(γ(x−2a)/2σ₀) （4-24）
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