超赞！电气工程师必知计算公式与实例讲解

正文摘录

第一章 电气工程计算基础公式
第一节 常用数学基本公式
一、三角函数基本公式
表 1-1 三角函数基本公式
| 项目 | 基本公式 |
| :— | :— |
| 基本式 | $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;
\sec^2\alpha-\tan^2\alpha=1$<br>$\csc^2\alpha-\cot^2\alpha=1;
\sin\alpha\csc\alpha=1$<br>$\cos\alpha\sec\alpha=1;
\tan\alpha\cot\alpha=1$<br>$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};
\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ |
| 两角和及差 | $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$<br>$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$<br>$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta};
\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$ |
| 两函数和、差及积 | $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)$<br>$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)$<br>$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)$<br>$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)$<br>$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta};
\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$<br>$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)-\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta)$<br>$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)+\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta)$<br>$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}\sin(\alpha-\beta)$<br>$\tan\alpha\tan\beta=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}=-\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\cot\alpha-\cot\beta}$<br>$\cot\alpha\cot\beta=\frac{\cot\alpha+\cot\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}=-\frac{\cot\alpha-\cot\beta}{\tan\alpha-\tan\beta}$ |
电气工程师必知计算公式与实例讲解一本通
(续)
项目 基本公式
倍角及半角函数
$\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1$
$\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\frac{2}{\cot \alpha-\tan \alpha}$
$\sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha$
$\cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha$
$\tan 3 \alpha=\frac{3 \tan \alpha-\tan ^{3} \alpha}{1-3 \tan ^{2} \alpha}$
$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)}=\frac{1}{2} \sqrt{1+\sin \alpha}-\frac{1}{2} \sqrt{1-\sin \alpha}$
$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos \alpha)}=\frac{1}{2} \sqrt{1+\sin \alpha}+\frac{1}{2} \sqrt{1-\sin \alpha}$
$\tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\csc \alpha-\cot \alpha$
边角关系
$A$
$90^{\circ}$
$c \quad b$
$B \quad a \quad C$
正弦定理: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$
余弦定理: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$
正切定理: $\tan \frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$
射影定理: $a=b \cos C+c \cos B$
$b=c \cos A+a \cos C$
$c=a \cos B+b \cos A$
任意三角形面积
$S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B$
$S=\sqrt{P(P-a)(P-b)(P-c)}$
$S=r P$
$S=\frac{a b c}{4 R}$
注: $a 、 b 、 c$ 为三角形各边;
$A 、 B 、 C$ 为三角形各角;
$P=\frac{1}{2}(a+b+c) ;
R$ 为三角形外接圆半径;
$r$ 为内切圆半径;
$S$
为任意三角形面积。
表 1-2 重要角度的函数
角度 $\pi$ 倍数 $\sin \theta$ $\cos \theta$ $\tan \theta$ $\cot \theta$ $\sec \theta$ $\csc \theta$
$0^{\circ}$ 0 0 1 0 $\infty$ 1 $\infty$
$30^{\circ}$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{3}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 2
$45^{\circ}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 1 1 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$
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(续)
角度 $\pi$ 倍数 $\sin\theta$ $\cos\theta$ $\tan\theta$ $\cot\theta$ $\sec\theta$ $\csc\theta$
$60^{\circ}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 2 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$90^{\circ}$ $\frac{\pi}{2}$ 1 0 $\infty$ 0 $\infty$ 1
$180^{\circ}$ $\pi$ 0 -1 0 $\infty$ -1 $\infty$
$270^{\circ}$ $\frac{3\pi}{2}$ -1 0 $\infty$ 0 $\infty$ 1
$360^{\circ}$ $2\pi$ 0 1 0 $\infty$ 1 $\infty$
表 1-3 计算任意角三角函数值的化简
函数 $-\alpha$ $90^{\circ}\pm\alpha$ $180^{\circ}\pm\alpha$ $270^{\circ}\pm\alpha$ $360^{\circ}\pm\alpha$
sin $-\sin\alpha$ $+\cos\alpha$ $\mp\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\pm\sin\alpha$
cos $+\cos\alpha$ $\mp\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\pm\sin\alpha$ $+\cos\alpha$
tan $-\tan\alpha$ $\mp\cot\alpha$ $\pm\tan\alpha$ $\mp\cot\alpha$ $\pm\tan\alpha$
二、几何图形计算公式
表 1-4 平面图形计算公式
名称 简图 面积公式 重心 $G$
直角三角形 [图] $A=\frac{1}{2}ab$ $c=\sqrt{a^2+b^2}$ $GD=\frac{1}{3}BD$ $CD=DA$
锐角三角形 [图] $A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ $h=\sqrt{c^2-e^2}$ $c=\sqrt{a^2-b^2+2be}$ $GD=\frac{1}{3}BD$ $CD=DA$
钝角三角形 [图] $A=\frac{1}{2}bh$ $h=\sqrt{c^2-e^2}$ $c=\sqrt{a^2-b^2-2be}$ $GD=\frac{1}{3}BD$ $CD=DA$
正方形 [图] $A=a^2=\frac{1}{2}f^2$ $f=\sqrt{2}a=1.414a$ 对角线交点上
长方形 [图] $A=ab$ $f=\sqrt{a^2+b^2}$ 对角线交点上
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(续)
名称 简图 面积公式 重心G
平行四边形
$A=b \cdot h=ab\sin\theta_1$
$=\frac{1}{2}f_1f_2\sin\theta_2$
$f_1=2b\cos\frac{\theta_1}{2}$
$f_2=2a\cos\frac{\theta_1}{2}$
对角线交点上
菱形
$f_1=2a\sin\frac{\theta}{2}$
$f_2=2a\cos\frac{\theta}{2}$
$A=\frac{1}{2}f_1f_2=a^2\sin\theta$
对角线交点上
梯形
$A=\frac{1}{2}(a+b)h$
$=\frac{1}{2}f_1f_2\sin\theta$
$HG=\frac{h}{3}\times\frac{a+2b}{a+b}$
$KG=\frac{h}{3}\times\frac{2a+b}{a+b}$
任意四边形
$A=\frac{(h_1+h_2)a+bh_1+ch_2}{2}$
内接三角形
$A=\sqrt{P(P-a)(P-b)(P-c)}$
$R=\frac{abc}{4A}$
$P=\frac{1}{2}(a+b+c)$
外切三角形
$A=\sqrt{P(P-a)(P-b)(P-c)}$
$r=\frac{A}{P}$
$P=\frac{1}{2}(a+b+c)$
内接四边形
$A=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}$
$P=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$
圆形
$A=\pi r^2=\frac{1}{4}\pi d^2$
$l=2\pi r=\pi d$
在圆心上
第一章 电气工程计算基础公式
(续)
| 名称 | 简 图 | 面积公式 | 重心 G |
| :— | :— | :— | :— |
| 扇形 | | $A=\frac{1}{2}lr=\frac{\pi r^2\theta}{360^{\circ}}$<br>$l=\frac{\theta}{180^{\circ}}\pi r$<br>$\theta=\frac{180^{\circ}}{\pi}\frac{l}{r}$ | $G$在角的平分线上<br>$GO=\frac{2}{3}\frac{rb}{l}$<br>当$\theta=90^{\circ}$时：<br>$GO=\frac{4\sqrt{2}}{3}\frac{r}{\pi}$<br>$=0.6r$ |
| 弓形 | | $A=\frac{1}{2}[r(l-c)+ch]$<br>$=\frac{\pi r^2\theta}{360^{\circ}}-\frac{c}{2}\times(r-h)$<br>$r=\frac{c^2+4h^2}{8h}$<br>$c=\sqrt{(2r-h)h}$<br>$h=r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-c^2}$<br>$l=\sqrt{c^2+\frac{16}{3}h^2}$ | $G$在角的平分线上<br>$GO=\frac{1}{12}\frac{c^2}{l}$<br>当$\theta=180^{\circ}$时：<br>$GO=\frac{4r}{3\pi}$ |
| 月形 | | $A=\frac{\pi\theta_1}{360^{\circ}}R^2-\frac{\pi\theta_2}{360^{\circ}}r^2-\frac{1}{2}R^2\theta_1$<br>$+\frac{1}{2}r^2\theta_2$ | |
| 圆片 | | $A=\frac{\pi\theta}{360^{\circ}}(R^2-r^2)$ | $G$在角的平分线上<br>$GO=38.2\frac{R^3-r^3}{R^2-r^2}\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}$ |
| 隅角 | | $A=\left(1-\frac{\pi}{4}\right)r^2$<br>$=0.2146r^2$<br>$=0.1073c^2$ | |
| 空心圆 | | $A=\frac{\pi}{4}(D^2-d^2)$<br>$=\pi(R^2-r^2)$ | 在圆心上 |
| 椭圆 | | $A=\pi Rr=\frac{\pi}{4}Dd$<br>$l=\pi\sqrt{\frac{D^2+d^2}{2}}$<br>$=\pi\sqrt{2(R^2+r^2)}$ | 主轴交点上 |